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El Infierno de Cantor: Cero

Fuente: “El Infierno de Cantor” de Víctor Morelli.

“Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de otros. No hablo del Mal cuyo ilimitado impero es la ética: hablo del infinito”

Jorge Luis Borges.

Borges temía a los espejos, la repetición infinita cuya simple confrontación provoca esa visión del horror que incluso hoy, soy incapaz de soportar.

Recuerdo de niño un gran armario en el dormitorio de mis padres, tenía varias puertas, y tras cada una de ellas un espejo. A menudo entraba solo, abría dos de ellas y las enfrentaba: el exiguo espacio de una habitación estallaba en un pasillo infinito, poblado por fantasmales copias de mi mismo que, burlonas, repetían como si de imágenes se trataran aquello que yo mismo hacía. Me gusta pensar que sólo era un juego. Hoy sé que no es así. Aquello obedecía a un impulso morboso, incontrolable, la atracción que todos sentimos hacia lo que más tememos.

Temí encontrarme con ese monstruo, escondido en los lugares más inverosímiles, acechante, como ese bote de leche condensada que no dejó de atormentarme. En la etiqueta una madre acogía en sus brazos a un niño, el cual mostraba imprudentemente otro bote de leche idéntico, con idéntica etiqueta: la misma madre y el mismo niño mostrando de la misma forma el mismo bote de leche… Recuerdo haber experimentado ese vértigo, esa nausea, que siempre me causó la visión del infinito.

Mi nombre es Víctor Morelli, y alguna vez creí ser matemático… pero el tiempo, esa gran farsa en la que todos nos empeñamos en creer, ha sepultado todo esto en la memoria y el olvido, acaso la misma cosa. Hoy, ya solo hablo de monstruos.

Como el monstruo del infinito.

Hablar del infinito es hablar de pesadillas, de ocultaciones y vanos intentos de domesticación, de hostilidades, desconfianzas y afirmaciones categóricas, también de fantasmas, espectros y fabulaciones que conducen a callejones sin salida, paradojas o incluso la locura.

¿Creemos saber qué es? El Infinito forma parte de nuestro lenguaje, lo usamos sin aparente dificultad, sin embargo su ilusoria sustancia parece escaparse cada vez que pretendemos hablar de él.

¿Qué es el Infinito? ¿Tiene sentido hacerse esa pregunta? Determinar si el Infinito es una categoría racional, y por tanto manejable y existente, o por el contrario si es algo que escapa a la comprensión ha sido uno de los grandes debates en la filosofía, y desde luego el gran debate en la matemática, la única disciplina que ha tratado de embridar tan esquivo concepto.

La opinión mayoritaria ha estado del lado de Borges, el Infinito no ha sido más que un desatino, un concepto corruptor que ha nublado entendimientos, un fantasma tal vez, o algo de lo cual resulta imposible hablar, ajeno al lenguaje y sin embargo presente. Desde la Antigüedad se ha intentado desterrarlo, hacer de él un absurdo, objeto de paradojas y aporías que pretendían demostrar que reflexionar impunemente acerca de él abocaba a callejones sin salida y situaciones insostenibles. Del Infinito se podía hablar, quizá, pero sabiendo que no era sino una confusión, un enredo lingüístico que había que manejar con cuidado. El hombre es finito, y afirmar la existencia de una negación puede dar lugar a sinsentidos. Todo parecía claro, meridiano, pero como si sólo hubiese sido un intento de mirar hacía otra parte, el pueril truco de escapar del monstruo tapándose los ojos hizo  su presencia más insoslayable.

De manera que el Infinito fue el mal, lo irracional, lo monstruoso. Incluso las historias apócrifas hablan de asesinatos cometidos por revelar su presencia ubicua. El Infinito se constituyó en el espacio de la pura potencialidad, el despliegue ilusorio de lo posible, afirmar la existencia de semejante espectro era equivalente a negarle el sentido a una sola de esas posibilidades, el mundo concreto en el cual creemos vivir.

Pero por alguna razón el Infinito parecía burlarse de todos esos alambicados discursos, pensar el Infinito era tentador, y hacer uso de él abría caminos hasta entonces ignorados. Mefistófeles tentaba de nuevo. En un mundo poblado por mónadas y por sustancias infinitas, los infinitésimos proporcionaban las herramientas con las cuales tratar el espacio, el tiempo, y el movimiento. Rescatar un instante de la especulación y tratarlo como si fuera algo mesurable. Zenón se revolvía en su tumba, mientras Leibniz y Newton bailaban sobre sus despojos.

Tras el aquelarre la condena, excesos que hay que pagar. Nuevos monstruos y aberraciones que surgieron de ese comercio ingenuo con el Infinito. Llegaron otros censores que hicieron ver los peligros, formas nuevas de ocultar esa peste tras argumentos de sensatez y finitud, lo llamaron rigor, nada podía quedar al albur de la intuición.

Sin embargo los monstruos de la mente siempre acechan, puertas que no acaban de cerrarse y paradojas persistentes que guardan en su interior el veneno. A finales de siglo XIX, en un cruce de cartas fascinante, Georg Cantor y Richard Dedekind domeñaron con palabras aquello que parecía inaprensible, aquello que, como la arena, siempre acababa por escaparse por entre los dedos de nuestro pobre lenguaje. Con la Teoría de Conjuntos Cantor dio carta de naturaleza al Infinito, hizo de la paradoja un argumento lógicamente implacable, y el Infinito, la serie infinita y extravagante de infinitos, todos ellos distintos, todos inabarcables, se desplegó a la vista de todos, nombrados con un lenguaje adecuado que parecía hacerlos comprensibles. El Infinito, esa sombra siempre presente, era por fin un objeto de estudio, formalizado, domesticado, y catalogado. Cantor, sin embargo, sabía muy bien que ese infinito que él había domeñado era meramente un transfinito, algo que queda más allá de lo finito pero que no logra alcanzar al verdadero Infinito, la antesala de lo absoluto, el límite del lenguaje.

¿Es una forma de hablar o una manera de reconocer que el monstruo del Infinito siempre resultará algo irreductible?

Borges odiaba los espejos, veía en ellos una horrorosa multiplicación que terminaba borrando la distinción entre imagen y copia, entre realidad y simulacro: entre la vida y la muerte. Escribir El Aleph, aunque el aleph de la calle Garay fuera un falso aleph, fue un intento de conjurar ese pavor que sentía al asomarse a dicho abismo. La imagen de Borges es grandiosa, incluso para un falso aleph escondido bajo unas escaleras, esa sucesión infinita de imágenes agitándose en el interior de una pequeña esfera, copia y simulacro de un universo, real o posible, enumeradas con precisión poética tas una cortante frase: “Y entonces vi el Aleph.”

Todo ello no es sino el intento de espantar el miedo, conjurar aquello que sabe informe, inasible, merced a la enumeración y la descripción. ¿Qué tipo de aleph era el de la calle Garay? Creo que un aleph cero, un pálido reflejo de algo monstruoso, el amenazador comienzo de una serie terrible.

Antes de comenzar estas notas me he preguntado qué sentido tiene escribir una breve historia del Infinito. Ninguno, me respondo. Sin embargo quizá sean estos cielos de imposible azul pétreo, los horizontes inabarcables del desierto, las carreteras rectas que convergen en un punto de fuga… imágenes tan distintas a las que conozco. Sólo sé que únicamente aquí podría hacerlo. Escribir sobre el Infinito, aunque sea un pequeño ensayo algo vago y pedante, es una manera de escribir sobre mí mismo, sobre mis miedos… y mis infiernos.

El lugar… qué más da el lugar. Claire Motel, es el rótulo que figura en la entrada, un gigantesco óvalo rojo y verde que permanece encendido las veinticuatro horas del día, incluso durante las largas horas de sol cegador. Soy un huésped atípico, paso el día hipnotizado frente al televisor, y las noches tecleando una vieja máquina de escribir. Y no me muevo, he quedado varado en un lugar de paso, mimetizándome casi con los anodinos muebles de un motel.

Claire Motel, Estado de Nevada, 10 de octubre de 1987.

V.M.

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Conjuntos

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Félix Bernstein, en su carta a los editores de las obras de Richard Dedekind, contaba una anécdota que ejemplificaba la distinta concepción que tenían Dedekind y Georg Cantor sobre qué era un conjunto:

“El episodio siguiente debería ser de especial interés: respecto al concepto de conjunto Dedekind me manifestó que se imaginaba un conjunto como un saco cerrado, que contiene cosas completamente determinadas, pero de modo que uno no las ve, y no sabe nada de ellas salvo que existen y están bien determinadas. Algún tiempo después Cantor dio a conocer su manera de imaginarse un conjunto: elevó bien su alta y colosal figura, describió con el brazo extendido un gesto magnífico, y dijo con una mirada dirigida a lo indeterminado: ‘Me imagino un conjunto como un abismo’”.

La cita es suficientemente ilustrativa. A Cantor se le considera el introductor de la Teoría de Conjuntos en la matemática, sin embargo la concepción de conjunto que intuitivamente se usa es la que mantenía Dedekind; quizá por eso se malinterpreta el papel que las paradojas de Russell tuvieron en el desarrollo de la Teoría.

La historia oficial (u oficiosa) dice:

“Las antinomias que descubrió Russell en el manejo de los conjuntos, llevó a la primitiva Teoría de Conjuntos introducida por Cantor, y que se postulaba como nuevo fundamento de las matemáticas, a un callejón sin salida. Para solucionarlo y conservar así ese “paraíso introducido por Cantor y del que nadie podrá expulsarnos jamás” (en palabras de David Hilbert), se hizo necesario una correcta formalización de la Teoría que evitara las paradojas. El primer intento fue la Teoría de los Tipos de Russell y Whitehead; posteriormente con la formalización de la Teoría llevada a cabo por Zermelo y Fraenkel, y también con la de Bermays, Newmann y Gödel, se conjuraron los fantasmas y todos los matemáticos pudieron usar con tranquilidad los conjuntos sin temer a las paradojas… ni a los barberos que no se afeitan a sí mismos.”

Sin embargo, a Cantor la paradoja de Russell le importó un pimiento, entre otras cosas porque pensaba que no le concernía en absoluto, sus “conjuntos” eran otra cosa. Y no se equivocaba.

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La concepción ingenua de los conjuntos, mantenida por Russell, Dedekind, y en lo que de conjuntista tenía su lógica, por Frege, entendía a éstos como la extensión de un predicado: a todo predicado le corresponde un conjunto en algún mundo ideal, un conjunto (o clase) es un concepto, un saco cerrado que engloba cosas reunidas merced alguna cosa común. Naturalmente esto se viene abajo cuando uno se enreda con predicados autorreferentes: “el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismo”.

Cantor acabó considerando los conjuntos como algo totalmente distinto: un conjunto es algo que se puede “contar”, entendiendo la palabra en un sentido amplio. O en términos técnicos, algo que puede ser puesto en correspondencia con un ordinal. Es decir, un conjunto no es ningún concepto idealizado, sino algo que puede ser “numerado” u ordenado mediante un número ordinal. Normalmente un ordinal tiene mucho más que ver con un abismo que con un saco.

La Teoría de Cantor de los ordinales no tiene ninguna paradoja de tipo russelliniano, su heurística es perfectamente coherente salvo en la medida en que nos preguntemos si el conjunto de ordinales es un ordinal. Esa es la única “paradoja” que preocupaba a Cantor, pero esa pregunta, para Cantor, no tenía ningún sentido, pertenecía al dominio de lo Absoluto, algo incognoscible.

A pesar de su comodidad, la concepción ingenua de los conjuntos termina dando lugar a paradojas, un conjunto no es una forma platónica que habita un lugar en un Olimpo platónico, es algo más sutil, y al mismo tiempo más simple; es, tal y como pensaba Cantor, algo que se puede contar, numerar. Pero cuando traspasamos la barrera de lo finito la numerabilidad nos conduce a lo infinito, los abismos de lo transfinito.

La pregunta que no logró responder Cantor es si su Teoría podía incluir al continuo, un salto de fe que no pudo demostrar.

(Apuntes, El Infierno de Cantor)

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John Malkovich y la Teoría de Conjuntos

-Malkovich, Malkovich

-¿Malkovich, Malkovich, Malkovich?

– Malkovich

-¿Makovich?

-¡¡Malkovich!!

Being John Malkovich. Spike Jonze 2000.


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La cosa funciona de manera razonablemente lógica hasta la mitad de la película, nada extraño ocurre, a no ser que consideremos extraño que en el piso 7 ½ de un edificio de oficinas de Nueva York se encuentre, detrás de un pesado archivo, un túnel que no es sino un portal al interior de la mente de John Malkovich, y que permite permanecer, o formar parte de ella, durante un tiempo de aproximadamente quince minutos.

Personalmente no considero que sea nada extraordinario, he imaginado cosas mucho más inverosímiles, con la ayuda o sin ella de sustancias psicotrópicas. Pero el asunto empieza a complicarse cuando el propio John Malkovich se introduce en el portal que le conduce al interior de sí mismo.

Craig Schwartz, es un titiritero que se ve obligado a trabajar como archivero, está casado con Lotte, que regenta una tienda de animales. Su matrimonio hace aguas, tras diez años juntos han conseguido llegar a ese estado de tedio compartido que cercena cualquier ilusión. Pero la suerte parece sonreír a Craig, ya que encuentra ese pasaje a la mente de John Malkovich, evidentemente lo prueba, y no queda defraudado tras la experiencia que, sin saber mediante qué atajo topológico, termina en la cuneta de una autopista.

Naturalmente no se guarda el secreto, se lo cuenta a Lotte y a su compañera de trabajo, una avispada Maxine que pronto verá las posibilidades comerciales del hallazgo. Se produce un inevitable lío amoroso, Craig encuentra que solo siendo Malkovich puede reconquistar a Lotte, sin embargo Maxine y Lotte descubren, utilizando a Malkovich como intermediario, una atracción mutua que les llevará a olvidarse posteriormente del propio Malkovich.

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Por otro lado el negocio JM Inc., situado en la planta 7 ½ del edificio donde trabaja Craig, y que tiene un curioso horario nocturno, funciona estupendamente; cualquiera puede ser John Malkovich durante quince minutos pagando un módico precio. Como es comprensible el propio John Malkovich acaba descubriéndolo todo, oye voces en su interior, su voluntad parece estar gobernada por alguien… y obliga a Craig y a Maxine a abrir la puerta para que él mismo pueda pasar. Cuando Malkovich se introduce en el pasadizo, Craig pregunta:

-¿Qué ocurre cuando un hombre cruza su propia puerta?

Pues veamos qué ocurre:

La situación puede ser analizada utilizado un poco de lógica y Teoría de Conjuntos. Cuando Craig (C), o Lotte (L), o Maxine (M) cruzan la puerta y se introducen en el interior de Malkovich (JM), pasan a ser un elemento constitutivo de Malkovich puesto que no dejan de ser quienes son, y durante quince minutos su universo se circunscribe a John Malkovich, así pues la situación es la siguiente:

C € JM, o L € JM, o también M € JM

O bien para cualquier cliente X de JM Inc. que haya pagado su entrada:

X € JM

Pero qué sucede cuando es el propio Malkovich quien realiza la operación. Entonces ocurre lo siguiente:

JM € JM

Estamos ante una de las situaciones comprometidas que puede dar la Teoría de Conjuntos, ¿puede un conjunto pertenecerse a sí mismo? El conjunto de todos los peces no es un pez, tampoco el conjunto de todas las personas que no han logrado ver en su vida Sonrisas y Lágrimas (al cual pertenezco), es una persona que no ha logrado ver en su vida Sonrisas y Lágrimas. Pero, ¿puede algún elemento perteneciente a John Malkovich ser el propio John Malkovich? Podemos pensar en el siguiente conjunto:

W = {1, 2, W}

Evidentemente aquí sí sería trivialmente cierto que: W € W; pero existe la sospecha de que estamos haciendo algo incorrecto, una trampa.

Bertrand Russell aprovechó esta situación en 1901 para idear una paradoja que acababa de forma dramática (dramática para Frege, que tuvo que introducir una corrección que invalidaba su obra definitiva cuando ya estaba en la imprenta) con la feliz época del “todo vale” en la Teoría de Conjuntos. Russell imaginó el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, llamémosle H. Preguntémonos si H pertenece, o es un elemento de H, es decir, si H no se pertenece a sí mismo, lo que nos lleva inevitablemente a la siguiente contradicción:

H € H ↔ ¬H € H; (H se pertenece a sí mismo, si y solo si H no se pertenece a sí mismo)

Esta situación, aparentemente letal para la Teoría de Conjuntos, puede ser resuelta con la introducción de una axiomática adecuada que impida que un conjunto pueda ser elemento de sí mismo. Russell ideó la engorrosa Teoría de los Tipos, pero algo más tarde se introdujeron axiomatizaciones de la Teoría de Conjuntos más manejables como la Zermelo-Fraenkel (que impide de manera axiomática que esto pueda pasar), o la de Bernays-Gödel (que distingue entre clases y conjuntos), y que logran eliminar estas paradojas haciendo imposible que existan “conjuntos” como el ideado por Russell y también loops del tipo:

A € B € C € A

Jugar con el lenguaje puede ser peligroso, y hay juegos, como el suponer la existencia de conjuntos elementos de sí mismo, que dan lugar a callejones sin salida.

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Pero volvamos al atribulado John Malkovich.

Malkovich se introduce en el túnel y penetra en sí mismo, es decir, esa persona que transita por la puerta se introduce dentro de la persona que transita por la puerta, y que se introduce en el interior de la persona que transita por la puerta, y que a su vez se introduce en el interior… Un descenso paradójico al infinito. Esa bomba lógica, que hace saltar por los aires cualquier atisbo de coherencia, es representada por la infernal visión de un mundo poblado exclusivamente por Malkovichs donde todo es Malkovich, incluso las palabras.

Tras esa demencial pertenencia a sí mismo, Malkovich exclama en la cuneta de la autopista: “He visto el lado oscuro”

El Malkovich hacia el que se dirige el Malkovich que cruza la puerta no es otro Malkovich, sino él mismo; el precio a pagar por una imposibilidad es la coherencia. El lado oscuro es ese pozo paradójico donde todo tiene cabida, una cosa y su contraria, despensa de lo absurdo, infierno de incoherencia que haría palidecer al mismísimo El Bosco. Ese pozo puede ser obviado mediante arreglos como la axiomatización de Zermelo-Fraenkel de la Teoría de Conjuntos, pero una pregunta me asalta. Se considera que esa axiomatización está basada en el “sentido común”, pero realmente, ¿qué es el sentido común? La misma Teoría de Conjuntos convenientemente axiomatizada da lugar a resultados bastante extraños (paradoja de Banach-Tarski). ¿No estaremos simplemente construyendo artificios? Decorados de cartón-piedra que velen una realidad paradójica y absurda… ¿No estaremos negando algo porque somos capaces de evitarlo de forma artificial? ¿Cuál es el suelo que sostiene a la lógica?

Transitar por bucles autorreferentes nunca ha conducido a nada bueno… o quizá sea al contrario.

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