Félix Bernstein, en su carta a los editores de las obras de Richard Dedekind, contaba una anécdota que ejemplificaba la distinta concepción que tenían Dedekind y Georg Cantor sobre qué era un conjunto:

“El episodio siguiente debería ser de especial interés: respecto al concepto de conjunto Dedekind me manifestó que se imaginaba un conjunto como un saco cerrado, que contiene cosas completamente determinadas, pero de modo que uno no las ve, y no sabe nada de ellas salvo que existen y están bien determinadas. Algún tiempo después Cantor dio a conocer su manera de imaginarse un conjunto: elevó bien su alta y colosal figura, describió con el brazo extendido un gesto magnífico, y dijo con una mirada dirigida a lo indeterminado: ‘Me imagino un conjunto como un abismo’”.

La cita es suficientemente ilustrativa. A Cantor se le considera el introductor de la Teoría de Conjuntos en la matemática, sin embargo la concepción de conjunto que intuitivamente se usa es la que mantenía Dedekind; quizá por eso se malinterpreta el papel que las paradojas de Russell tuvieron en el desarrollo de la Teoría.

La historia oficial (u oficiosa) dice:

“Las antinomias que descubrió Russell en el manejo de los conjuntos, llevó a la primitiva Teoría de Conjuntos introducida por Cantor, y que se postulaba como nuevo fundamento de las matemáticas, a un callejón sin salida. Para solucionarlo y conservar así ese “paraíso introducido por Cantor y del que nadie podrá expulsarnos jamás” (en palabras de David Hilbert), se hizo necesario una correcta formalización de la Teoría que evitara las paradojas. El primer intento fue la Teoría de los Tipos de Russell y Whitehead; posteriormente con la formalización de la Teoría llevada a cabo por Zermelo y Fraenkel, y también con la de Bermays, Newmann y Gödel, se conjuraron los fantasmas y todos los matemáticos pudieron usar con tranquilidad los conjuntos sin temer a las paradojas… ni a los barberos que no se afeitan a sí mismos.”

Sin embargo, a Cantor la paradoja de Russell le importó un pimiento, entre otras cosas porque pensaba que no le concernía en absoluto, sus “conjuntos” eran otra cosa. Y no se equivocaba.

La concepción ingenua de los conjuntos, mantenida por Russell, Dedekind, y en lo que de conjuntista tenía su lógica, por Frege, entendía a éstos como la extensión de un predicado: a todo predicado le corresponde un conjunto en algún mundo ideal, un conjunto (o clase) es un concepto, un saco cerrado que engloba cosas reunidas merced alguna cosa común. Naturalmente esto se viene abajo cuando uno se enreda con predicados autorreferentes: “el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismo”.

Cantor acabó considerando los conjuntos como algo totalmente distinto: un conjunto es algo que se puede “contar”, entendiendo la palabra en un sentido amplio. O en términos técnicos, algo que puede ser puesto en correspondencia con un ordinal. Es decir, un conjunto no es ningún concepto idealizado, sino algo que puede ser “numerado” u ordenado mediante un número ordinal. Normalmente un ordinal tiene mucho más que ver con un abismo que con un saco.

La Teoría de Cantor de los ordinales no tiene ninguna paradoja de tipo russelliniano, su heurística es perfectamente coherente salvo en la medida en que nos preguntemos si el conjunto de ordinales es un ordinal. Esa es la única “paradoja” que preocupaba a Cantor, pero esa pregunta, para Cantor, no tenía ningún sentido, pertenecía al dominio de lo Absoluto, algo incognoscible.

A pesar de su comodidad, la concepción ingenua de los conjuntos termina dando lugar a paradojas, un conjunto no es una forma platónica que habita un lugar en un Olimpo platónico, es algo más sutil, y al mismo tiempo más simple; es, tal y como pensaba Cantor, algo que se puede contar, numerar. Pero cuando traspasamos la barrera de lo finito la numerabilidad nos conduce a lo infinito, los abismos de lo transfinito.

La pregunta que no logró responder Cantor es si su Teoría podía incluir al continuo, un salto de fe que no pudo demostrar.

(Apuntes, El Infierno de Cantor)